Metode Numerik

Soal 1

Perbedaan antara Sistem Persamaan Linier dan Sistem Persamaan Tak Linier?

Persamaan linear

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabeltunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x³, y^1/2, dan  bukanlah persamaan linear.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier ada 2 yaitu; dapat diselesaikan disebut konsisten sedangkan yang tidak dapat diselesaikan disebut tidak konsisten.Untuk menyelesaikan persamaan linier pada metode numerik ada 3 metode yaitu metode Substitusi, metode Eliminasi, dan metode Determinan. Hasil dari persamaan linier berupa garis lurus

Persamaan Tak linear

Sistem Persamaan Tak Linier persamaan ax+b=0 dimana a dan b adalah konstanta dan a 0, maka akar tunggal x= -b/a. Persamaan kuadrat Ax²+Bx+C=0 diselesaikan dengan cara

x_1,2 = -b ± √ b2 – 4

   2a

Sistem Persamaan Tak Linier pada metode numerik disajikan 3 metode yang biasa digunakan yaitu metode Bisection, metode Newton Raphson, dan metode Secant. Hasil dari persamaan linier berupa garis lengkung.

Soal 2

Perbedaan antara Metode Langsung dan Metode Iterasi?

Metode komputasi numeric untuk penyeleseian system persamaan linear dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iterasi (iterative). Metode langsung adalah metode dengan tidak adanya kesalahan pembulatan tau lain-lainnya, akan memberikan penyeleseian yang teoat dalam jumlah operasi aritmatika elementer yang terbatas banyaknya. Metode dasar yang digunakan adalah eliminasi Gauss dan ada berbagai pilihan metode bervariasi dalam efisiensi dan kecermatan hitungan. Metode Iterasi bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi. Kelebihan metode iterasi adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi dapat dilakukan.

 

Metode Langsung

Metode langsung terdiri dari eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, metode matriks invers dan metode dekomposisi LU.

Metode Langsung prinsip kerjanya merupakan operasi eliminasi dan substitusi variabel-variabel sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas dan diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik.

Contoh:

x₁ + x₂ +x₃=  6

x₁ + 2x₂-x₃ = 2

2x₁+x₂+2x₃ = 10

Jawab;

1  1    1    6

1  2   -1   2 2  1    2    10

B₂ – B₁

B₂ – 2B₁

1   1    1     6

0   1    -2   -4 0  -1    0    -2

B₃ + B₂

1  1    1      6

0  1    -2   -4 0  0    -2   -6

X₃ =  -6/-2 = 3

X₂ = 1/1 (-4 – (2)3) = 2

X₁ = 1/1 (6 – 2 – 3 ) = 1

 

 

Metode Iterasi

Metode Tak Langsung terdiri dari metode iterasi Jacobi dan metode iterasi Gauss-Seidel.

Metode Iterasi  prinsip kerjanya menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.Metode iterasi dimulai dengan nilai-nilai tebakan.

Contoh;

Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengn metode iterasi x=g(x).

F(x) = sin x – 5x + 2 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Mengubah bentuk f(x) menjadi x = g(x).

F(x) = sin x – 5x + 2 = 0

5x = sin x +2

g(x)=sin x+2/5

Langkah 2: Mencari turunan g(x), Yaitu :

Dan menentukan titik x1, misalnya diambil x1 = 0.5 maka di dapat nilai g’(x)=0.17552 dan memenuhi syarat iterasi.

Langkah 3 : Melakukan Iterasi dengan persamaan

xn+1 = g(xn)

Iterasi pertama, n = 1 didapatkan :

x2=g(x)=(sin x1+2)/5=4.95885

Iterasi kedua, n = 2 didapatkan :

x3=g(x)=(sin x2+2)/5=4.95162

Proses iterasi ini dilanjutkan terus sampai didapatkan nilai x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah.

Penyelesaian diatas sampai nilai f(x) lebih kecil dari 10^-7. di dapatkan x = 4.950076830E-01 dimana f(x) = 3.3287506085E-09.

Soal 3

Konvergen adalah?

 

Konvergen

Definisi konvergen. Konvergen berasal dari bahasa Yunani yaitu con yang berarti bersama dan verger yang berarti diarahkan ke. Konvergen merupakan sifat mengumpulkan,  bersifat menuju satu titik pertemuan dan bersifat memusat. Misalnya lensa cembung dan cermin cekung bersifat konvergen, artinya lensa atau cermin itu akan mengumpulkan berkas sinar yang mengenaiknya. Oleh karena itu, lensa cembung disebut converging lenses. Misalnya lensa cembung dan cermin cekung bersifat konvergen, artinya lensa atau cermin itu akan mengumpulkan berkas sinar yang mengenaiknya. Oleh karena itu, lensa cembung disebut converging lenses.